[Algorithm] 벨만 포드(Bellman-Ford) 알고리즘

벨만 포드 알고리즘(bellman-ford)

그래프에서 최단 거리를 구하는 알고리즘

 

• 기능: 특정 출발 노드에서 다른 모드 노드까지의 최단 경로 탐색
• 특징: 음수 가중치 에지가 있어도 수행할 수 있음
• 전체 그래프에서 음수 사이클의 존재 여부를 판단할 수 있음
• 시간 복잡도: O(VE) (노드 수:V, 에지 수:E)

 

벨만 포드 알고리즘은 다음 3가지 단계의 원리로 동작한다.

 

 

1. 에지 리스트로 그래프를 구현하고 최단 경로 리스트 초기화하기

벨만-포드 알고리즘은 에지를 중심으로 동작하므로 그래프를 에지 리스트로 구현한다.

또한 최단 경로 리스틀 출발 노드는 0, 나머지 노드는 무한대로 초기화한다.

 

edge 클래스는 일반적으로 노드 변수 2개(start,end)와 가중치 변수(w,v)로 구성되어 있다.

 

 

 

2. 모든 에지를 확인해 정답 리스트 업데이트하기

최단 거리 리스트에서 업데이트 반복 횟수는 노드 개수-1이다.

노드 개수가 N이고, 음수 사이클이 없을 때 특정 두 노드의 최단 거리를 구성할 수 있는 에지의 최대 개수는 N-1이기 때문이다.

모든 에지 E = (s,e,w)에서 다음 조건을 만족하면 업데이트를 실행한다.

업데이트 반복 횟수가 K번이라면 해당 시점에 정답 리스트의 값은 시작점에서 K개의 에지를 사용했을 때 각 노드에 대한 최단 거리이다.

 

• 업데이트 조건과 방법

D[s] = ∞ 이며 D[e] > D[s] + w 일 때 D[e] = D[s] + w로 리스트의 값을 업데이트한다.

 

음수 사이클이 없을 때 최대 에지 개수가 나오려면 사향 트리 형태에서 양 도착 노드를 선택해야 한다.

에지의 출발 노드를 s, 종료 노드를 e,에지의 가중치를 w로 가정했다.

 

 

음수 사이클이 없을 때 N-1 번 에지 사용 횟수를 반복하면 출발 노드와 모든 노드 간의 최단 거리를 알려주는 정답 리스트가 완성된다.

이렇게 완성 후 마지막으로 이 그래프에 음수 사이클이 존재하는지 확인해야 한다.

 

 

3. 음수 사이클 유무 확인하기

음수 사이클 유무를 확인하기 위해 모든 에지를 한 번씩 다시 사용해 업데이트되는 노드가 발생하는지 확인한다.

만약 업데이트되는 노드가 있다면, 음수 사이클이 있다는 뜻이고, 2단계에서 도출한 정답 리스트가 무의미하고 최단 거리를 찾을 수 없는 그래프라는 뜻이 된다.

 

음수 사이클이 존재하면 이 사이클을 무한하게 돌수록 가중치가 계속 감소하므로 최단 거리를 구할 수 없다.

 

 

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벨만 포드 알고리즘 Summary

1. 최단 거리 N-1 에지로 업데이트

2. 한 번 더 업데이트 시도해서 업데이트 되면 최단거리를 구할 수 X. 음수사이클이 존재

 

 

• 참고자료 

https://www.inflearn.com/course/lecture?courseSlug=%EB%91%90%EC%9E%87-%EC%95%8C%EA%B3%A0%EB%A6%AC%EC%A6%98-%EC%BD%94%EB%94%A9%ED%85%8C%EC%8A%A4%ED%8A%B8-%ED%8C%8C%EC%9D%B4%EC%8D%AC&unitId=148398